Goniometrie » Cosinusregel
Let op, de lengte a en de hoekgrootte α (alpha) worden allebei gebruikt. Kijk goed naar het verschil tussen deze twee letters.
Inhoud
Wat is de cosinusregel?Hoe reken je met de cosinusregel?
Bewijs van de cosinusregel
Wat is de cosinusregel?
De cosinusregel(s) luidt als volgt voor driehoek ABC waarin α = 
A, β = B, γ = C, a = BC, b = AC en c = AB.
a2 = b2 + c2 – 2bc cos(α)
b2 = a2 + c2 – 2ac cos(β)
c2 = a2 + b2 – 2ab cos(γ)
Hoe reken je met de cosinusregel?
Met de cosinusregel kan je de derde zijde berekenen als je twee zijden en de tussenliggende hoek weet. Ook kan je de hoeken berekenen als alleen de drie zijden zijn gegeven.
Voorbeeld 1
Gegeven is de volgende driehoek. Bereken de onbekende zijde.
Antwoord:
We moeten a berekenen dus gebruiken we a2 = b2 + c2 – 2bc cos(α)
Invullen en oplossen geeft:
a2 = 182 + 222 – 2 × 18 × 22 cos(40°) ≈ 201,29...
a = BC = 
≈ 14,2
Voorbeeld 2
Gegeven is de volgende driehoek. Bereken β.
Antwoord:
We moeten β berekenen dus gebruiken we b2 = a2 + c2 – 2ac cos(β)
Invullen en oplossen geeft:
| 132 = | 172 + 152 – 2 × 17 × 15 × cos(β) |
| 169 = | 514 – 510 cos(β) |
510 cos(β) = | 345 |
cos(β) = | 345510 |
| β = | 47,4° |
Bewijs van de cosinusregel
Om de cosinusregel te bewijzen, maken we gebruik van een hoogtelijn.
De lengte van x kan als volgt berekend worden:
x = b cos(α)
Vanwege de stelling van Pythagoras geldt:
h2 = b2 – x2
h2 = a2 – (c – x)2
Er geldt dus:
| b2 – x2 = | a2 – (c – x)2 |
| b2 – x2 = | a2 – (c2 – 2cx + x2) |
| b2 – x2 = | a2 – c2 + 2cx – x2 |
| b2 = | a2 – c2 + 2cx |
| b2 – a2 = | –c2 + 2cx |
| –a2 = | –b2 – c2 + 2cx |
| a2 = | b2 + c2 – 2cx |
Als we x vervangen door b cos(α) krijgen we:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos(α)