Kansrekening » Binomiale verdeling

Inhoud

1. Bernoulli-experiment
2. Binomiaal kansexperiment
3. Binomiale verdeling op de grafische rekenmachine
4. Binomiale kansen omzetten

1. Bernoulli-experiment

Een kansexperiment met maar twee uitkomsten is een Bernoulli-experiment.
Zo is het gooien met een munt een mooi voorbeeld; er zijn maar twee uitkomsten mogelijk. Echter, het gooien met een dobbelsteen kan ook een Bernoulli-experiment zijn. Stel dat je een zes wilt gooien. Dan is de uitkomst wel of niet een zes. Zodoende kunnen alle ja of nee vragen als een Bernoulli-experiment dienen.
In een Bernoulli-experiment heb je het meestal over succes en mislukking.
De kans op een goede uitkomst noem je meestal p.

Voorbeelden

-	Gooi je met een muntstuk kop?
-	Is een pasgeborene een meisje?
-	Stemt iemand op de lijsttrekker?
-	Heb je het goede antwoord bij een meerkeuzevraag?

2. Binomiaal kansexperiment

Een kansexperiment dat uit een Bernoulli-experiment bestaat dat een aantal keer herhaald wordt, is een binomiaal kansexperiment. Het aantal keren dat je het experiment uitvoert noem je n. De kans op een goede uitkomst per experiment noem je p. De toevalsvariabele X is het aantal keer succes dat in dit samengestelde kansexperiment optreedt. X wordt in dit geval een binomiale toevalsvariabele genoemd. Ook kan je zeggen dat X binomiaal verdeeld is.

Voorbeelden

Binomiaal kansexperiment	n	p
15 keer met een dobbelsteen gooien X = het aantal keer zes	15	16
25 keer met terugleggen een knikker nemen uit een vaas met vijf blauwe en vier rode knikkers. X = het aantal keer blauw	25	59
30 keer een vierkeuzevraag gokken X = het aantal keer juist	30	14

We kijken aan de hand van het laatste voorbeeld hoe je de kans moet berekenen.
Stel dat we P(X = 10) willen uitrekenen.
We hebben dan een reeks van 10 keer succes en 20 keer mislukking.
De kans op succes is 14 en de kans op mislukking is 34.
Deze reeks kan op 30
10 manieren geschreven worden.

De kans kan daarom berekend worden met:
P(X = 10) = 30
10 · (14)¹⁰ · (34)²⁰

Hieruit valt de algemene regel op te maken.

Bij een binomiaal kansexperiment is de kans op k keer succes:
P(X = k) = n
k · p^k · (1 – p)^(n – k)

3. Binomiale verdeling op de grafische rekenmachine

De grafische rekenmachine kan deze berekeningen sneller voor je uitvoeren met de opties binompdf en binomcdf, de c in binomcdf staat voor cumulatief.
Hierbij geldt:
P(X = k) = binompdf(n, p, k)
P(X ≤ k) = binomcdf(n, p, k)

Op de Casio moet je BinominalPD(k, n, p) en BinominalCD(k, n, p) gebruiken.

Voorbeeld 1
Met acht keer een dobbelsteen gooien precies twee keer 3 ogen gooien.
Antwoord: P(X = 2) = binompdf(8, 1/6, 2) ≈ 0,260

Voorbeeld 2
Met tien keer een dobbelsteen gooien hoogstens drie keer 6 ogen gooien.
Ter info: Er mag nu dus 0, 1, 2 of 3 keer 6 ogen gegooid worden.
Antwoord: P(X ≤ 3) = binomcdf(10, 1/6, 3) ≈ 0,930

4. Binomiale kansen omzetten

Op de grafische rekenmachine heb je alleen binompdf en binomcdf. Maar soms zal je een andere kans moeten berekenen dan 'gelijk aan' of 'hoogstens'.
Hieronder vind je een overzicht hoe je deze kansen toch makkelijk kunt berekenen.

P(5 of 6 successen) = P(X = 5) + P(X = 6)
P(minder dan 5 successen) = P(X < 5) = P(X ≤ 4)
P(meer dan 5 successen) = P(X > 5) = 1 – P(X ≤ 5)
P(minstens 5 successen) = P(X ≥ 5) = 1 – P(X ≤ 4)
P(tussen 5 en 8 successen) = P(5 < X < 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5)
P(tussen of gelijk aan 5 en 8 successen) = P(5 ≤ X ≤ 8) = P(X ≤ 8) – P(X ≤ 4)

Voorbeelden
Bij een binomiaal kansexperiment met n = 15 en p = 0,4 is X het aantal keer succes.
P(X < 9) = P(X ≤ 8) = binomcdf(15, 0.4, 8) ≈ 0,905
P(X > 8) = 1 – P(X ≤ 8) = 1 – binomcdf(15, 0.4, 8) ≈ 0,095
P(X ≥ 6) = 1 – P(X ≤ 5) = 1 – binomcdf(15, 0.4, 5) ≈ 0,597
P(6 < X < 12) = P(X ≤ 11) – P(X ≤ 6) = binomcdf(15, 0.4, 11) – binomcdf(15, 0.4, 6) ≈ 0,388

Naar boven