Meetkunde » Stelling van Pythagoras

De stelling van Pythagoras kan toegepast worden:

1. Met het schema/de tabel
2. Met de kortste en snelste manier
3. Via een vergelijking
Direct naar de voorbeelden

Verdere inhoud

4. Pythagoras in de ruimte
5. Omgekeerde stelling van Pythagoras (om te kijken of de hoek 90° is)

Alle drie de methodes maken gebruik van a² + b² = c².

De stelling zegt dat in een rechthoekige driehoek de oppervlakte van de twee vierkanten aangrenzend aan de rechthoekszijden* samen even groot zijn als de oppervlakte van het vierkant aangrenzend aan de langste zijde. In onderstaande figuur is de oppervlakte van de roze vierkanten samen dus even groot als de oppervlakte van het blauwe vierkant.

Je kunt hier linksboven zien dat het roze gedeelte de oppervlakte van het vierkant min vier gelijke driehoeken is. De oppervlakte van het blauwe gedeelte is precies het zelfde, namelijk ook de oppervlakte van het vierkant min diezelfde vier driehoeken. In de figuur rechtsboven zijn ze over elkaar geschoven zodat de gele driehoeken op elkaar vallen. Van de gele driehoek weet je nu dat a² + b² = c².

* Rechthoekszijden zijn de twee zijden in een rechthoekige driehoek die grenzen aan de rechte hoek.

Je kunt het ook anders zeggen:
In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de langste zijde.

Misleidende naam

In tegenstelling tot wat je misschien zou denken heeft Pythagoras deze stelling niet zelf ontdekt. Deze methode van rekenen was eerder al bekend bij de Soemeriërs en de Babyloniërs (het huidige Irak) en ook in India eeuwen voordat Pythagoras leefde. De Grieken en misschien wel Pythagoras zijn waarschijnlijk wel degenen die de stelling naar het westen hebben gebracht.

1. Met het schema/de tabel

Eigenlijk de meest gebruikte methode in de wiskundeboeken.
Wordt dan ook meestal gebruikt om het de eerste keer aan te leren.
Hieronder zie je het schemaatje gebruikt voor deze methode.

zijde	kwadraat
rechthoekszijde
rechthoekszijde			+
langste zijde

1.	Aan de linkerkant vul je de gegeven zijden in. De zijde die je moet berekenen geef je een vraagteken. LET OP: de langste zijde komt altijd onderaan!
2.	Bereken de kwadraten van de gegeven zijden (#)2.
3.	Bereken het kwadraat van de onbekende zijde (optellen of aftrekken).
4.	Bereken de onbekende zijde met .

Zie voorbeelden.

2. Met de kortste en snelste manier

Maak gebruik van de stelling op de volgende manier:

Zie voorbeelden.

3. Via een vergelijking

Deze methode wordt in sommige wiskunde boeken gebruikt en is waarschijnlijk de manier waarop je ouders het geleerd hebben.
Je gebruikt hierbij echt a² + b² = c² in zijn basisvorm.
Je vult de gegeven zijden direct in in deze formule en je krijgt dan een vergelijking die je kunt oplossen. Door die vergelijking op te lossen krijg je het antwoord.
Zie voorbeelden.

Voorbeelden

Voorbeeld 1 Bereken de zijde met het vraagtekentje. Je moet dus de langste zijde berekenen.
Schema/tabel		Kortste/snelste		Vergelijking
zijde kwadraat 16   256   30 900 +   ? 1156 1. 16 en 30 invullen 2. 256 en 900 berekenen 3. 256 + 900 = 1156 4. ? =  = 34		dus c =  = 34		a2 + b2 = c2 dus 162 + 302  = c2 256 + 900  = c2 1156  = c2 c =   = 34
Voorbeeld 2 Bereken de zijde met het vraagtekentje. Je moet dus een rechthoekszijde berekenen.
Schema/tabel		Kortste/snelste		Vergelijking
zijde kwadraat RQ = 3    9   PQ = ? 40 +   PR = 7 49 1. 3 en 7 invullen 2. 9 en 49 berekenen 3. 49 – 9 = 40 4. PQ =		dus PQ =  =		PQ2 + QR2 = PR2 dus PQ2 + 32  = 72 PQ2 + 9  = 49 PQ2  = 40 PQ  =
Voorbeeld 3 Gegeven zijn punt A(–10, 3) en punt B(5, 23). Bereken de afstand tussen deze twee punten. Je moet dus de langste zijde berekenen. Eerst moet je de horizontale en verticale afstand weten tussen A en B. A en B liggen horizontaal 5 – –10 = 15 uit elkaar en verticaal 23 – 3 = 20 uit elkaar. In een schets ziet dit er zo uit:
Schema/tabel		Kortste/snelste		Vergelijking
zijde kwadraat 15   225   20 400 +   ? 625 1. 15 en 20 invullen 2. 225 en 400 berekenen 3. 225 + 400 = 625 4. ? =  = 25		dus c =  = 25		a2 + b2 = c2 dus 152 + 202  = c2 225 + 400  = c2 625  = c2 c =   = 25

4. Pythagoras in de ruimte

In ruimtefiguren heb je meestal geen rechthoekige driehoeken, maar je kunt ze wel zelf maken. Zo kan je de lengte van de diagonaal over de bodem van een ruimtefiguur met een vierkant of rechthoekig grondvlak makkelijk uitrekenen. Bij de theorie over lichaamsdiagonalen staat een voorbeeld over het uitrekenen van een lichaamsdiagonaal in een balk. Ook in andere ruimtefiguren zoals de piramide en de kegel kan je met de stelling van Pythagoras rekenen.

Voorbeeld 1
Van kubus ABCD.EFGH met ribbe 4 is K het midden van BC.
Bereken EK.

Om EK te berekenen zal je gebruik moeten maken van rechthoekige driehoeken.
In de kubus zie je twee verschillende rechthoekige driehoeken die je kunt gebruiken.

Met de groene doorsnede:
EK kunnen we berekenen met de rechthoekige driehoek EBK.
BK = 2, maar BE weten we nog niet.
BE kunnen we wel berekenen via het voorvlak.

Schema/tabel				Korte manier
zijde kwadraat AB = 4    16   AE = 4 16 +   BE = ? 32  BE =		zijde kwadraat BK = 2    4   BE =  32 +   PR = ? 36  BE =  = 6		BE =  =  Nu kunnen we EK berekenen. EK =  =  = 6

Met de rode doorsnede:
EK kunnen we berekenen met de rechthoekige driehoek EKM.
KM = 4, maar KM weten we nog niet.
EM kunnen we wel berekenen via het bovenvlak.

Schema/tabel				Korte manier
zijde kwadraat EF = 4    16   FM = 2 4 +   EM = ? 20  EM =		zijde kwadraat KM = 4    4   EM =  20 +   EK = ? 36  BE =  = 6		EM =  =  Nu kunnen we EK berekenen. EK =  =  = 6

Voorbeeld 2
Van piramide ABCD.T is het grondvlak een vierkant met zijden van 6 cm en zijn alle opstaande zijden 8 cm lang.
Bereken hoogte ST.


Om ST te berekenen kan je gebruik maken van doorsnede ACT.
Schets doorsnede ACT met ST.
Je ziet dat SCT de benodigde rechthoekige driehoek is.
AC en SC zijn hieronder al bekend, die zal je eerst moeten berekenen.

Bereken eerst met behulp van het grondvlak de lengte van AC.
Je kunt daarna direct SC uitrekenen.

zijde kwadraat AB = 6    36   BC = 6 36 +   AC = ? 72  AC =  cm

SC is de helft van AC. SC = 12AC = 12 cm

Nu kan je ST uitrekenen in driehoek SCT.

zijde	kwadraat
SC = 12		18
ST = ?		46	+
AC = 8		64

 ST =  ≈ 6,78 cm

5. Omgekeerde stelling van Pythagoras

Met de omgekeerde stelling van Pythagoras kan je berekenen of een hoek kleiner, groter of gelijk is aan 90° in een driehoek. Met deze methode kijk je altijd naar de hoek tegenover de langste zijde. In de nieuwste wiskunde boeken wordt deze naam al niet meer gebruikt.

Het werkt als volgt:
Omdat a² + b² = c² alleen werkt in een rechthoekige driehoek, kan je met de stelling van Pythagoras ook controleren of een driehoek waarvan je alle drie de zijden weet een rechthoekige driehoek is. Is dit niet het geval, kan je in dat geval ook zeggen of de driehoek stomphoekig of scherphoekig is.

Daarbij gebruik je:
a² + b² = c². De driehoek is rechthoekig.
a² + b² < c². De driehoek is stomphoekig (c is te lang en maakt de hoek groter).
a² + b² > c². De driehoek is scherphoekig (c is te kort en maakt de hoek kleiner).

Voorbeelden

52 + 122 = 142 25 + 144 = 196 169 = 196 169 < 196 a2 + b2 < c2 Dus driehoek ABC is stomphoekig.    A > 90°	162 + 202 = ()2 256 + 400 = 656 656 = 656 a2 + b2 = c2 Dus driehoek DEF is rechthoekig. A = 90°
()2 + ()2 = 132 75 + 95 = 169 170 = 169 170 > 169 a2 + b2 > c2 Dus driehoek GHI is scherphoekig. A < 90°

Naar boven