Statistiek/Kansrekening » Normale verdeling

Moet je een kans berekenen met de normale verdeling?
Dit kan je vinden onder het kopje 'Oppervlakte/kans berekenen met normalcdf'.

Inhoud

Wanneer is er sprake van een normale verdeling?
Standaardafwijking en percentages
Normale verdeling op de grafische rekenmachine:
 - Oppervlakte/kans berekenen met normalcdf
 - Grens berekenen met invNorm
 - Berekenen van μ of σ met normalcdf
 - Waar gebruik je normalpdf voor?

Wanneer is er sprake van een normale verdeling?

Hieronder zie je een staafdiagram met een normale verdeling.

Als je een frequentiepolygoon zou maken in plaats van een staafdiagram, krijg je de lijn / kromme die er ook in getekend staat.
Hieronder staat deze nog een keer, maar dan zonder staafjes van het staafdiagram.

Als de frequentiepolygoon bij een reeks waarnemingsgetallen deze vorm heeft, is er sprake van een normale verdeling. Zo'n grafiek wordt de normaalkromme genoemd. Men noemt dat een klokvormige grafiek. Nu snap je waarom dat plaatje van de klok naast de normaalkromme staat. Al past deze klok er ook bij.
De grafiek is symmetrisch en het gemiddelde, de mediaan en de modus vallen samen. Het gemiddelde noem je bij een normale verdeling μ. Dit is de Griekse letter m, die je uitspreekt als 'mu'.

Gaussverdeling

Een normale verdeling wordt ook wel een gaussverdeling genoemd. Carl Friedrich Gauss was een Duitse wiskundige.

Voorbeelden

-	het gewicht van 500 pakken koffie
-	de lengte van 15-jarigen
-	de netto inhoud van 1000 pakken appelsap

Standaardafwijking en percentages

Zoals je kunt zien in de grafiek met het staafdiagram hierboven stelt het gebied onder de kromme alle waarnemingsgetallen voor. Dat betekent dat 100% van de waarnemingsgetallen onder de kromme liggen. 50% links van μ en 50% rechts van μ.

Standaardafwijking

De grafiek gaat op een moment over van toenemend stijgend naar afnemend stijgend. De afstand van dit punt tot μ noemen we de standaardafwijking. Zo'n punt is ook rechts van μ te vinden. Het teken dat we voor standaardafwijking gebruiken is de Griekse letter σ. Dit is de 'sigma', maar nagenoeg iedereen spreekt dit teken gewoon uit als 'standaardafwijking' en niet als 'sigma'.
Je mag aannemen dat bij een normale verdeling ongeveer 68% van de waarnemingsgetallen minder dan σ van μ afliggen.


Verder mag je aannemen dat bij een normale verdeling ongeveer 95% van de waarnemingsgetallen minder dan 2σ van μ afliggen.

Je houdt dan nog 5% van de waarnemingsgetallen over.
Die liggen dus verder dan 2σ van μ af. 2,5% aan weerszijden van μ.

As we alles samenvoegen tot één afbeelding krijg je het volgende.
Klik op het plaatje om te wisselen tussen een uitvergrote versie.

Noot: Dit zijn afgeronde percentages.
Klik hier als je wilt weten wat de precieze percentages zijn.

Voorbeeld
In een melkfabriek staat een machine die melkpakjes van een 500 mL vult. Hij staat precies ingesteld op 500 mL. Eén van de werknemers kijkt van 150 pakken na wat de precieze netto inhoud is. Hij stelt vast dat de gemiddelde netto inhoud μ van de pakken inderdaad 500 mL is. Verder rekent hij uit dat de standaardafwijking σ van de machine 12 mL is.

Bereken hoeveel pakken...
a  ...minder inhouden dan 500 mL.
b  ...meer inhouden dan 512 mL.
c  ...een inhoud hebben van tussen de 488 en 512 mL.

Antwoorden
Schets eerst zelf de normaalkromme.

a  50% van 150 = 75 pakken
b  13,5% + 2,5% = 16%   16% van 150 = 24 pakken
c  34% + 34% = 68%   68% van 150 = 102 pakken

Normale verdeling op de grafische rekenmachine

Oppervlakte/kans berekenen met normalcdf

Om een oppervlakte te berekenen onder de normaalkromme gebruik je:
TI: normalcdf(l, r, μ, σ)
Casio: NormCD(l, r, σ, μ).
Hierbij is l de linkergrens, r de rechtergrens, μ het gemiddelde en σ de standaardafwijking.

Als er geen linkergrens is, gebruik je –10⁹⁹.
Als er geen rechtergrens is, gebruik je 10⁹⁹.
Als je normalcdf(l, r) invoert, neemt de rekenmachine μ = 0 en σ = 1.

Voorbeeld

a  Bereken de oppervlakte van het gebied links van 46.
b  Bereken de oppervlakte van het gebied tussen 56 en 62.

Antwoorden
a  normalcdf(–10⁹⁹, 46, 50, 8) ≈ 0,309
b  normalcdf(56, 62, 50, 8) ≈ 0,160

Je ziet dat de antwoorden worden gegeven als een getal tussen 0 en 1. Bedenk dat 1 gelijk staat aan 100%.

Kansen

Wat nu als de vragen, in bovenstaand voorbeeld, waren:
Hoe groot is de kans dat een getal uit deze reeks...
a  ...kleiner is dan 46?
b  ...ligt tussen 56 en 62?
Dan doe je precies hetzelfde, je gebruikt alleen een andere notatie.
a  P(X < 46) = normalcdf(–10⁹⁹, 46, 50, 8) ≈ 0,309 ≈ 30,9%
b  P(56 < X < 62) = normalcdf(56, 62, 50, 8) ≈ 0,160 ≈ 16,0%

Grens berekenen met invNorm

Om een grens te berekenen gebruik je:
TI: invNorm(oppervlakte links van grens, μ, σ).
Casio: invNorm(oppervlakte links van grens, σ, μ).

Voorbeeld

a  Bereken de rechtergrens van het linkergebied.
b  Bereken de linkergrens van het rechtergebied.

Antwoorden
a  a = invNorm(0.09, 24, 3) ≈ 20,0
b  Links van b zit een oppervlakte van 1 – 0,20 = 0,80
   b = invNorm(0.80, 24, 3) ≈ 26,5

Berekenen van μ of σ met normalcdf

De formule oppervlakte = normalcdf(l, r, μ, σ) kun je beschouwen als een formule met vijf variabelen. Als de oppervlakte gegeven is en je moet μ of σ berekenen, kun je alle gegevens invullen en krijg je een vergelijking die je moet oplossen.
Maar hoe los je een vergelijking van normalcdf op? Met je grafische rekenmachine!

Voorbeeld

Antwoord
Vul alle gegevens in de formule in. Gebruik x voor de onbekende waarde.
0,443 = normalcdf(–10⁹⁹, 41, x, 7)
Je gebruikt nu intersect op je rekenmachine op dit op te lossen.
Vul de delen van de vergelijking in als formules om ze te kunnen tekenen.

Kies een juiste window grootte en gebruik intersect om het snijpunt uit te rekenen.

Het gemiddelde μ ≈ 42.

Het berekenen van σ gaat natuurlijk op dezelfde manier.
Gebruik dan x op de plaats van σ.

Waar gebruik je normalpdf voor?

Om een kans of oppervlakte uit te rekenen is normalpdf ongeschikt. Als je echter de normaalkromme zou willen plotten met je grafische rekenmachine heb je normalpdf nodig.
TI: normalpdf(x, μ, σ)
Casio: normPD(x, σ, μ)

Als je normalpdf(x) invoert, neemt de rekenmachine μ = 0 en σ = 1.

Voorbeeld
Hieronder vind je de grafiek van y = normalpdf(x, 20, 4).

Naar boven