Differentiëren en integreren » Regels voor differentiëren  

Inhoud

1. Tabel met de regels
2. Kettingregel
3. Productregel
4. Quotiëntregel


1. Tabel met de regels

 Voorbeelden
Functie Afgeleide  f (x)  f '(x)
a 0 6 0
ax a 7x 7
axb abxb – 1 8x3
2xwortel x = 2x1,5
4x5 = 4x–5		 24x2
3x0,5 = 3wortel x
–20x–6 = – 20x6
c · f (x) c · f '(x) 2x13 2 · 13x12 = 26x12
f (x) + g(x) f '(x) + g'(x) x4 + 4x 4x3 + 4
f (x) · g(x)

Zie productregel		 f '(x) · g(x) + f (x) · g'(x) (x2 – 4) · (x3 + 2x + 3) [x2 – 4]' · (x3 + 2x + 3) +
(x2 – 4) · [x3 + 2x + 3]'
=
2x(x3 + 2x + 3) +
(x2 – 4)(3x2 + 2)
=
5x4 – 6x2 + 6x – 8
f (x)g(x)

Zie quotiëntregel		 g(x) · f '(x) – f (x) · g'(x)(g(x))2 4x + 1x2 + 1 (x2 + 1) · 4 – (4x + 1) · 2x(x2 +1)2
 =
4x2 + 4 – 8x2 – 2x(x2 + 1)2
 =
–4x2 – 2x + 4(x2 + 1)2
aebx abebx 12 · πwortel 2 · e2x πwortel 2 · e2x
e f (x) f '(x) · e f (x) e2x2 – x (4x – 1) · e2x2 – x
a f (x) ln(a) · f '(x) · a f (x) 54x – 1 ln(5) · 4 · 54x – 1
ln(ax) = ln(a) + ln(x) 1x ln(4x) = ln(4) + ln(x) 1x
ln(axb) = 
ln(a) + b · ln(x)		 bx ln(3xwortel x) = 
ln(3) + 1,5 · ln(x)		 1,5x
alog(f (x)) = ln(f (x))ln(a) 1ln(a) · 1f (x) · f '(x) 3log(3x – 3) = 
ln(3x – 3)ln(3)		 1ln(3) · 13x – 3 · 3
sin(ax + b) a · cos(ax + b) sin(12 π · (x – 1)) 12π · cos(12π · (x – 1))
c · cos(ax + b) –a · c · sin(ax + b) cos(2x – 1)wortel 2 –wortel 2 · sin(2x – 1)
tan(x) 1cos2(x) = 
1 + tan2(x) 


2. Kettingregel

f (g(x)) heeft als afgeleide  f '(g(x)) · g'(x)

Hieronder volgen 2 voorbeelden van de kettingregel:

f (x) = (x2 + 1)5 f (x) = (x2 + 1)5

g(x) = x2 + 1
g'(x) = 2x
f (u) =u5met u = g(x)
f '(u) = 5u4

f '(x) = 5u4 · 2x
f '(x) = 5(x2 + 1)4 · 2x
f '(x) = 10x(x2 + 1)4
f (x) = wortel(1 + sin^2 x) f (x) = wortel(1 + sin^2 x)

h(x) = sin(x)
h'(x) = cos(x)
g(u) = 1 + u2met u = h(x)
g'(u) = 2u
f (v) = wortel vmet v = g(u)
f '(v) = 1/(2 wortel v)

f '(x) = cos(x) · 2u · 1/(2 wortel v)
f '(x) = cos(x) · 2 sin(x) · wortel(1 + sin^2 x)
f '(x) = (sin x cos x)/(wortel(1 + sin^2 x))

3. Productregel

p(x) = f (x) · g(x) heeft als afgeleide p'(x) = f '(x) · g(x) + f (x) · g'(x)

Een voorbeeld van de productregel en de kettingregel:

h(x) = x · wortel(x^2 + x) h'(x) = [x]' · wortel(x^2 + x) + x · [wortel(x^2 + x)]'

h'(x) = 1 · wortel(x^2 + x) + x · 2x + 12wortel(x^2 + x)
h'(x) = wortel(x^2 + x) + 2x2 + x2wortel(x^2 + x)
h'(x) = 2(x2 + x) + 2x2 + x2wortel(x^2 + x) = 4x2 + 3x2wortel(x^2 + x)
Kettingregelgedeelte
voor wortel(x^2 + x)		 f (x) = wortel(x^2 + x)

g(x) = x2 + x
g'(x) = 2x + 1

f (v) = wortel vmet v = g(x)
f '(v) = 1/(2 wortel v)

f '(x) = 12wortel(x^2 + x) · (2x + 1)
f '(x) = 2x + 12wortel(x^2 + x)

4. Quotiëntregel

f (x) = g(x)h(x) heeft als afgeleide f '(x) = g'(x) · h(x) – g(x) · h '(x)(h(x))2

Een voorbeeld van de quotiëntregel:

k(x) = 5x2 + 3x – 2x2 + 1 k'(x) = [5x2 + 3x – 2]' · (x2 + 1) – (5x2 + 3x – 2) · [x2 + 1]'(x2 + 1)2

k'(x) = (10x + 3) · (x2 + 1) – (5x2 + 3x – 2) · 2x(x2 + 1)(x2 + 1)

k'(x) = (10x3 + 10x + 3x2 + 3) – (10x3 + 6x2 – 4x)x4 + 2x2 + 1

k'(x) = 10x3 + 10x + 3x2 + 3 – 10x3 – 6x2 + 4xx4 + 2x2 + 1

k'(x) = –3x2 + 14x + 3x4 + 2x2 + 1

Naar boven