Formules, grafieken en verbanden » Kwadratisch verband (2e graads)  


Inhoud

1. Algemeen
2. Formule
3. Tabel
4. Grafiek
5. Kwadratische formule maken

1. Algemeen

Een kwadratisch verband hoort bij een kwadratische formule. Deze formules worden vaak gebruikt om de hoogte te bereken van vallende stenen, weggetrapte ballen of van boogbruggen.
Een kwadratische formule wordt ook vaak een 2e graads formule genoemd.

2. Formule

De formule van een kwadratisch verband bevat altijd als hoogste exponent een 2.
De algemene vorm is y = ax2 + bx + c met a ≠ 0. Parameter b en c mogen 0 zijn.
Voorbeelden zijn: y = 3x2 en y = –5x2 + 3x – 4.

Non-voorbeelden zijn: y = 2x3 – 5x2 (2 is niet de hoogste exponent)
y = 3x + 52 (grondtal van kwadraat moet variabele zijn)

3. Tabel

Hieronder een voorbeeld van een tabel die bij een kwadratisch verband hoort.

x –3 –2 –1 0 1 2 3
y   19    9  3 1 3 9  19 
pijl half rond
–10
pijl half rond
–6
pijl half rond
–2
pijl half rond
+2
pijl half rond
+6
pijl half rond
+10
pijl half rond
+4
pijl half rond
+4
pijl half rond
+4
pijl half rond
+4
pijl half rond
+4

Je herkent het kwadratische verband aan de constante toename van de toename.
De symmetrie in de tabel zegt niets over het wel of niet een kwadratisch verband zijn. Ga daar dus niet mee de fout in. Er zijn namelijk ook tabellen met symmetrie die niet bij een kwadratisch verband horen.

4. Grafiek

Hieronder zie je twee voorbeelden van grafieken die horen bij een kwadratisch verband. Deze vorm noem je een parabool.
Als je een grafiek moet teken van een kwadratisch verband, moet je altijd de significante punten opnemen (top en snijpunten met de assen. Het is mogelijk dat er geen snijpunten zijn met de x-as.
Voorbeeld 2 parabolen
Het maximum of minimum van de parabool noem je de top.
De top van de rode parabool, die naar boven opent, ligt bij (0, 1) en van de blauwe parabool, die naar beneden opent, bij (1, 5).
Des te dichter a (het getal voor x2) bij 0 ligt, des te breder de parabool is.
De rode grafiek is een dalparabool en krijg je als a positief is.
De blauwe grafiek is een bergparabool en krijg je als a negatief is.

Zoals al gezegd, moet je altijd de significante punten opnemen (top en snijpunten met de assen, als die er zijn).
Meestal liggen die wel rond de oorsprong, maar bij wat grotere getallen voor b en c kan het enorm zoeken zijn. In dat geval kan je beter eerst gaan rekenen aan de formule om die punten te berekenen voordat je begint met tekenen.

Om de top te berekenen, gebruik je xtop = b2a met y = ax2 + bx + c.
De snijpunten met de x-as kan je bereken door de formule gelijk te stellen aan y = 0.

Voorbeeld
Teken de grafiek bij y = 0,5x2 + 50x – 200.
Bereken eerst de top:
xtop = –502 × 0,5 = –50
ytop = 0,5(–50)2 + 50 × –50 – 200 = –1450

Dan de snijpunten (zie kwadratische vergelijkingen):
0,5x2 + 50x – 200 = 0
a = 0,5   b = 50   c = –200
D = 502 – 4 × 0,5 × –200 = 2900

x = –50 + wortel 29002 × 0,5 of x = –50 – wortel 29002 × 0,5
x ≈ 3,85 of x ≈ –103,85

Nu kan je een tabel maken met getallen zodat alle drie deze significante punten worden opgenomen.

 x  –120 –100 –80 –60 –50 –40 –20 0 20
 y  1000 –200 –1000 –1400 –1450 –1400 –1000 –200 1000

Teken nu de bijbehorende grafiek.
Grafiek bij 0,5x^2 + 50x - 200

5. Kwadratische formule maken

Bij het opstellen van een kwadratische formule gebruik je één van de drie vormen van de kwadratische formule.

Top
Als de top is gegeven samen met een ander punt:
 y = a(x – p)2 + q
Waarbij p en q de coördinaten van de top zijn (pq).

Snijpunten met de horizontale as
Als de snijpunten met de horizontale as zijn gegeven samen met een ander punt:
 y = a(x – m)(x – n)
Waarbij m en n de snijpunten zijn met de horizontale as.

Snijpunt met de verticale as
Als drie punten gegeven zijn waaronder het snijpunt met de verticale as:
 y = ax2 + bx + c


Voorbeeld 1
Van een parabool is bekend dat de top bij (–4, 6) ligt.
Verder gaat deze parabool door het punt (–8, 14).
Maak de bijbehorende formule.

Antwoord
We weten de top, dus gebruiken we y = a(x – p)2 + q.
Vul de top in. Je krijgt y = a(x – –4)2 + 6 = a(x + 4)2 + 6
Stel de vergelijking op die hoort bij het andere punt.

 14 = a(–8 + 4)2 + 6
 14 = a(–4)2 + 6
14 = 16a + 6
 16a = 8
a = 816 = 12

De formule is y = 12(x + 4)2 + 6.

Voorbeeld 2
Van een parabool is bekend dat deze de horizontale as snijdt in (–4, 0) en in (8, 0). Verder is bekend dat deze parabool door het punt (5, –9) gaat.
Maak de bijbehorende formule.

Antwoord
We weten de snijpunten met de horizontale as, dus gebruiken we y = a(x – m)(x – n).
Invullen van de snijpunten met de horizontale as (m = –4 and n = 8) geeft y = a(x + 4)(x – 8).
Nu hoeven we alleen a nog te bepalen. Dit doe je met behulp van een vergelijking.
Je weet namelijk dat de formule door voor x = 5 de uitkomst y = –9 moet geven.
Je krijgt dan de volgende vergelijking die je kunt oplossen.

–9 = a(5 + 4)(5 – 8)
–9 = a × 9 × –3
–9 = –27a
a = –9–27 = 13

De formule is y = 13(x + 4)(x – 8).

Voorbeeld 3
Van een parabool zijn de volgende punten bekend: (–2, 18), (4, –6) en (0, 6).
Maak de bijbehorende formule.

Antwoord
Er zijn drie punten bekend waaronder het snijpunt met de verticale as, we gebruiken daarom y = ax2 + bx + c
Door het punt (0, 6) weten we dat c = 6.
We krijgen y = ax2 + bx + 6.
Nu gaan we met behulp van beide andere punten een stelsel vergelijkingen maken.

 (–2, 18) geeft a(–2)2 + b(–2) + 6 = 18
4a – 2b + 6 = 18
4a – 2b = 12
2a – b = 6
 (4, –6) geeft a(4)2 + b(4) + 6 = –6
16a + 4b + 6 = –6
16a + 4b = –12
4a + b = –3

Dit geeft het stelsel vergelijkingen:
accolade2a – b = 6
4a + b = –3


Ik kies ervoor om herschrijven en substitutie te gebruiken om dit stelsel vergelijkingen op te lossen, maar er zijn meer manieren. Zie de link hierboven.

4a + b = –3 geeft dat b = –4a – 3
Substitutie in de eerste vergelijking geeft:

2a – (–4a – 3) = 6
2a + 4a + 3 = 6
6a + 3 = 6
6a = 3
a = 12

Nu we a weten, is b snel berekend met b = –4a – 3.
b = –4 × 12 – 3 = –5

De formule is y = 12x2 – 5x + 6.


Naar boven