Formules, grafieken en verbanden » Toppen van parabolen  


Inhoud

Vooraf: hoe bereken je ytop?
Symmetrie
xtop = b(2a)
Hoe komt men aan de formule xtop = b(2a)?
Redeneren, bepalen van (p, q) met de formule


Vooraf: hoe bereken je ytop?

In onderstaande uitleg wordt uitgebreid stil gestaan bij het berekenen van xtop.
Om ytop te berekenen moet je eerst xtop berekenen.
Zodra je xtop weet, kan je de xtop invullen in de formule/functie om ytop te berekenen.
In functie notatie: ytop = f (xtop).

Symmetrie

Als je van een parabool twee punten weet die op dezelfde hoogte liggen, dan ligt xtop daar precies tussen in.

De kwadratische formule y = (x – α)(x – β) snijdt de x-as in α en β.
Dus xtop = α + β2 = het midden tussen α en β.

Je hoeft niet per se de snijpunten met de x-as te nemen. Het kan ook met de snijpunten van de parabool met bijvoorbeeld y = 5. Die liggen immers ook op dezelfde hoogte. De top ligt daar precies tussen in.

Voorbeeld 1
Van een parabool is bekend dat het de punten (4, 13) en (12, 13) heeft. Wat is xtop?

Antwoord:
De symmetrieas moet precies tussen x = 4 en x = 12 liggen,
xtop ligt op deze symmetrieas.
Dus xtop = 4 + 122 = 8.

Voorbeeld 2
Bereken de coördinaten van de top van de parabool die hoort bij y = 2(x + 3)(x – 7).

Antwoord:
Je kan aan de formule zien dat de grafiek de x-as snijdt bij x = –3 en x = 7.
Zie je dit niet? Los dan de vergelijking 2(x + 3)(x – 7) = 0 op.
xtop = –3 + 72 = 2
ytop = 2(2 + 3)(2 – 7) = –50.
Coördinaten zijn dus (2, –50).

xtop = b(2a)

Van de grafiek van de formule y = ax2 + bx + c met a ≠ 0 is de x-coördinaat van de top te berekenen met de formule:
xtop = b2a

Voorbeeld 1
Gegeven is de formule y = –4x2 + 8x – 5.
Bereken de coördinaten van de top van de bijbehorende parabool.
Antwoord:
xtop = –82 × –4 = 1
ytop = –4 × 12 + 8 × 1 – 5 = –1.
Coördinaten zijn (1, –1).

Voorbeeld 2
Gegeven is de formule y = 2x2 + px + 3 waarvan het minimum 1 is.
Bereken p algebraïsch.

Antwoord:
Stel eerst de formule op voor xtop.
xtop = p2 × –2 = –14p

Als we –14p invullen voor x in de formule dan moet de uitkomst het minimum 1 zijn.
Bedenk dat het minimum van de parabool dus de top van de parabool is.
Daar kunnen we de volgende vergelijking bij opstellen en oplossen:

2 × (–14p)2 + p × –14p + 3 = 1 
2 × 116p2 + –14p2 + 3 = 1 
18p2 – 14p2 + 3 = 1 
18p2 + 3 = 1 
18p2 = –2 
p2 = 16 
p = –4 of p = 4

Hoe komt men aan de formule xtop = b(2a)?

Iedere kwadratische vergelijking is te schrijven als ax2 + bx + c = 0.
Echter heeft die vergelijking niet altijd een oplossing. De vergelijking ax2 + bx + c = c heeft wel altijd twee oplossingen. Er is immers altijd een snijpunt met de verticale as. Bij het eerste puntje op deze pagina heb je geleerd dat we door symmetrie de top kunnen bepalen. We moeten dus van de uitkomsten van de vergelijking het gemiddelde nemen.

ax2 + bx + c = c 
ax2 + bx = 0 
x(ax + b= 0
x = 0 of ax + b = 0
ax = –b
x = ba

Nu nemen we het gemiddelde van deze twee punten die op dezelfde hoogte liggen.
xtop = 0 + ba2 = ba2 = b2a

Redeneren, bepalen van (p, q) met de formule

Van de grafiek van de kwadratische formule y = a(x – p)2 + q met a ≠ 0 is het punt (p, q) de top van de grafiek.
Tussen de haakjes van het kwadraat moet je 0 krijgen. Daar ligt de top.
Omdat p – p = 0 ligt de top bij x = p.

Voorbeeld 1
Gegeven is f (x) = 2(x – 3)2 – 4.
Geef de coördinaten van de top.

Antwoord:
p = 3 en q = –4 dus de top is (3, –4).

Voorbeeld 2
Gegeven is f (x) = 7(3x + 9)2 + 8.
Geef de coördinaten van de top.

Antwoord:
p is nu wat lastiger te bepalen. Je moet daarvoor 3x + 9 = 0 oplossen.

 3x + 9 = 0
3x = –9
x = –3

p = –3 en q = 8 dus de top is (–3, 8).


Naar boven