Herleiden » Kwadraat afsplitsen

Waarop is het gebaseerd?

Het kwadraat afsplitsen is gebaseerd op de regel:
(x + a)2 = (x + a)(x + a) = x2 + 2ax + a2

Laten we eens kijken naar een voorbeeld.
(x + 5)2 = (x + 5)(x + 5) = x2 + 2 × 5 × x + 52 = x2 + 10x + 25
Zonder de tussenstap:
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25

Het is duidelijk te zien dat het getal voor de x het dubbele is van 5 en het losse getal het kwadraat is van 5. Door dit te gebruiken kunnen we dus ook 'achteruit' rekenen.

Achteruit rekenen

Bekijk maar eens het volgende voorbeeld.
x2 + 18x + 81 = (x + ...)2
Je zult al snel zien dat het getal 9 op de stipjes hoort te staan. Immers is het dubbele van 9 het getal voor de x en het kwadraat van 9 het losse getal.

Het getal kan ook negatief zijn

x2 – 14x + 49 = (x + ...)2
Even rekenen. Het dubbele moet –14 zijn en het kwadraat 49. Het getal –7 moet op de stipjes staan.

Waarvoor gebruik je dit?

We kunnen er drietermen (van de vorm y = ax2 + bx + c) mee schrijven als een kwadraat. En dat is een mooiere formule waar je sneller mee kunt werken.
Daarnaast, kan je er makkelijker sommige kwadratische vergelijkingen mee oplossen.

Voorbeeld
x2 + 6x + 9 = 25 
(x + 3)2 = 25 
x + 3 = –wortel 25 of x + 3 = wortel 25  (deze stap hoef je niet te laten zien)
x + 3 = –5 of x + 3 = 5
x = –8 of x = 2

Lang niet altijd zal het losse getal in de drieterm precies het juiste getal zijn om het kwadraat af te splitsen. Dit getal moet immers het kwadraat zijn van de helft van het getal voor de x. Dit kan een extra tussenstap mooi oplossen.

Voorbeeld 1
x2 – 20x – 10 = 146  (+110 aan beide kanten zodat je de benodigde 100 krijgt)
x2 – 20x + 100 = 256 
(x – 10)2 = 256 
x – 10 = –wortel 256 of x – 10 = wortel 256  (deze stap hoef je niet te laten zien)
x – 10 = –16 of x – 10 = 16
x = –6 of x = 26

Voorbeeld 2
2x2 + 24x + 100 = 42 
x2 + 12x + 50 = 21  (–14 aan beide kanten zodat je de benodigde 36 krijgt)
x2 + 12x + 36 = 7 
(x + 6)2 = 7 
x + 6 = –wortel 7 of x + 6 = wortel 7
x = –6 – wortel 7 of x = –6 + wortel 7