Herleiden » Ontbinden in factoren

Ontbinden in factoren wordt ook wel eens buiten haakjes halen, buiten haakjes brengen of factoriseren genoemd.

Inhoud

1. Waarom?
2. Termen en factoren
3. Hoe werkt ontbinden in factoren
4. Speciaal geval: de drieterm (met a = 1)
5. Voor gevorderden


1. Waarom?

Het ontbinden in factoren van een formule is vooral belangrijk bij vergelijkingen.
Bij herleiden moet je normaalgesproken alle haakjes wegwerken, maar in sommige gevallen, bijvoorbeeld bij gebroken formules, kan je het juist gebruiken om een formule korter te schrijven.

2. Termen en factoren

Term: iets wat je optelt of aftrekt (aftrekken is een negatief getal optellen).
Factor: iets wat je vermenigvuldigt.

Som = term + term
Product = factor × factor

Voorbeeld

p = 5(3q – 7)

De 5 en 3q – 7 in de formule zijn factoren. Die worden met elkaar vermenigvuldigd.
In de factor 3q – 7 zijn 3q en –7 termen. Die worden bij elkaar opgeteld.
In de term 3q heb je de factoren 3 en q.

3. Hoe werkt ontbinden in factoren?

Je zoekt in alle termen van een formule naar de grootste gemeenschappelijke factor.
Die zet je voor de haakjes neer. Je ontbonden formule is dus altijd van de vorm y = …(… + …) of y = …(… – …).

Voorbeeld 1

y = 6x2 + 15x
y = 3x(2x + 5)
In beide termen van de formule y = 6x2 + 15x zit de factor 3x.
Want de formule is te schrijven als y = 2 × 3 × x × x + 3 × 5 × x.

Voorbeeld 2

y = 8x2 + 4x – 20
y = 4(2x2 + x – 5)
In alle termen van de formule y = 8x2 + 4x – 20 zit de factor 4.
Want de formule is te schrijven als y = 2 × 4 × x × x + 4 × x – 4 × 5.

Voorbeeld 3

y = 5x2 + 5x
y = 5x(x + 1).
In beide termen van de formule y = 5x2 + 5x zit de factor 5x.
Want de formule is te schrijven als y = 5 × x × x + 5 × x × 1.

4. Speciaal geval: de drieterm (met a = 1)

Een drieterm is een kwadratische formule in de vorm y = ax2 + bx + c.
Als er geen getal voor x2 staat en a dus 1 is, kan je de som-product-methode gebruiken. De som is het antwoord van een optelling en het product is het antwoord van een vermenigvuldiging.
Je ontbonden formule is altijd van de vorm y = (x + …)(x + …)
Achter de x op de open plaatsen komen twee getallen. Die twee getallen moeten opgeteld b zijn en vermenigvuldigd c zijn (vanuit y = ax2 + bx + c)
Al het werk zit hem in het zoeken naar die twee getallen.

Uitleg aan de hand van een voorbeeld

Ontbind y = x2 + 12x + 35 in factoren.
Omdat b = 12 en c = 35 moet je twee getallen vinden die opgeteld 12 en vermenigvuldigd 35 zijn. Het is geen doen om te beginnen bij 12. Er zijn namelijk oneindig veel getallen samen opgeteld 12. Daarom begin je bij 35. Er zijn maar 4 paren getallen vermenigvuldigd 35.
Namelijk 1 × 35, –1 × –35,  5 × 7  en –5 × –7.
Van deze vier is alleen 5 en 7 opgeteld 12.
Die twee getallen moeten we invullen, dan krijgen we:
y = x2 + 12x + 35
y = (x + 5)(x + 7)

Andere voorbeelden
y = x2 – 10x + 24 
y = (x – 4)(x – 6)
y = x2 + 3x – 18
y = (x + 6)(x – 3) 
y = x2 – x – 12
y = (x + 3)(x – 4)

Vind je het toch nog steeds moeilijk de juiste twee getallen te vinden?

Maak dan een tabel waarin je alle mogelijkheden opschrijft.

Voorbeeld

Ontbind y = x2 + 7x – 60 in factoren.

Zoek naar vermenigvuldigd –60.
Maak een tabel en begin met een factor 1, die is altijd mogelijk.
Daarna probeer je factor 2, enzovoort.

Maak dan de opgeteld kolom en zoek het juiste tweetal.

Vermenigvuldigd –60 Opgeteld?
–1 × 60
1 × –60
–2 × 30
2 × –30
–3 × 20
3 × –20
–4 × 15
4 × –15
–5 × 12
5 × –12
–6 × 10
6 × –10
59
–59
28
–28
17
–17
11
–11
7
–7
4
–4

Het juiste tweetal is –5 en 12, want die zijn opgeteld 7.
Het antwoord is dus y = (x – 5)(x + 12).

5. Voor gevorderden

y = x3 – x2 – 6x
y = x(x2 – x – 6)
y = x(x + 2)(x – 3)
b = 27a6 – 18a4 – 36a2
b = 9a2 · 3a4 – 9a2 · 2a2 – 9a2 · 4
b = 9a2(3a4 – 2a2 – 4)
 
q = a2(2b – 1) + 10b – 5
q = a2(2b – 1) + 5(2b – 1)
q = (a2 + 5)(2b – 1)
y = x8 – x6
y = x6(x2 – 1)
y = x6(x – 1)(x + 1)  (zie merkwaardige producten)


Naar boven