Goniometrie » Eenheidscirkel

In de tekst hieronder wordt steeds met graden gerekend.
Uiteraard kan er ook gerekend worden met radialen.


Wat is de eenheidscirkel?

De eenheidscirkel is een cirkel met middelpunt O(0, 0) en een straal van 1.
Plaatje van eenheidscirkel zoals hierboven beschreven.

Je kunt een punt P op de cirkel laten 'bewegen', de beweging begint altijd in (1, 0). De hoek die de lijn OP maakt met de horizontale as, noem je α (alfa). Deze hoek wordt ook wel de draaiingshoek genoemd. De draaiingshoek heeft altijd als 'startbeen' de positieve horizontale as en gaat tegen de klok in. Gaat je hoek met de klok mee? Dan ga je in wezen achteruit en is de draaiingshoek negatief.
     Plaatje van eenheidscirkel met een punt P op 126° inclusief lijn OP       Plaatje van eenheidscirkel met een punt P op -78° inclusief lijn OP.

Coördinaten

Het punt P heeft uiteraard coördinaten.
Deze schrijven we als (xP, yP).
Kijk maar naar het volgende voorbeeld, waar 0° < α < 90°.
     Plaatje van eenheidscirkel zoals hierboven beschreven, nu met punt P er in getekend. Ook de lijnen OP en de horizontale afstand (xp) en de verticale afstand (yp) tot punt P vanuit de oorsprong zijn getekend.

Hoe reken je in de eenheidscirkel?

Kijk naar het voorbeeld hierboven. Je ziet een rechthoekige driehoek en in deze rechthoekige driehoek kunnen we de sinus, cosinus en tangens toepassen. Door de straal van de cirkel is de langste/schuine zijde altijd 1. Hieruit volgen de volgende berekeningen:
cos(α) = aanliggendelangste zijde = xPOP = xP1 = xP
sin(α) = overstaandelangste zijde = yPOP = yP1 = yP
tan(α) = overstaandeaanliggende = yPxP
tan(α) = overstaandeaanliggende = sin(α)cos(α)

Er geldt dus:
xP = cos(α)
yP = sin(α)

We keken naar een voorbeeld waar 0° < α < 90°.
Ook voor α ≤ 0 of α ≥ 90° kloppen deze regels. Kijk maar naar de voorbeelden hieronder.

Voorbeeld 1
Plaatje van eenheidscirkel met een punt P met draaiingshoek 60 graden.
xP = cos(60°) = 0,5
yP = sin(60°) ≈ 0,866


           Voorbeeld 2
Plaatje van eenheidscirkel met een punt P met draaiingshoek 126 graden.
xP = cos(126°) ≈ –0,588
yP = sin(126°) ≈ 0,809


Voorbeeld 3
Plaatje van eenheidscirkel met een punt P met draaiingshoek -78 graden.
xP = cos(–78°) = 0,208
yP = sin(–78°) ≈ –0,978 		           Voorbeeld 4
Plaatje van eenheidscirkel met een punt P met draaiingshoek 579 graden.
xP = cos(579°) ≈ –0,777
yP = sin(579°) ≈ –0,629

In voorbeeld 4 kan je zien dat als α > 360° de formules ook gewoon werken.
Omdat 579° – 360° = 219° zou je ook cos(219°) ≈ –0,777 kunnen gebruiken.

Draaiingshoek berekenen

Indien α berekend moet worden en je weet alleen xP of yP kan je met de omgekeerde cosinus of omgekeerde sinus de draaiingshoek uitrekenen. Op je rekenmachine gebruik je daar cos–1 en sin–1 voor.

Voorbeeld 5
Plaatje van eenheidscirkel met een punt P met xp = -0,84. P ligt in het tweede kwadrant.
α = cos–1(–0,84°) ≈ 147°

Echter geeft cos–1 altijd een antwoord tussen 0° en 180°. In het volgende voorbeeld is xP ook –0,84 maar hebben we met een andere draaiingshoek te maken. Gebruik de symmetrie om de benodigde hoek uit te rekenen.

Voorbeeld 6
Plaatje van eenheidscirkel met een punt P met xp = -0,84. P ligt nu in het derde kwadrant.
cos–1(–0,84°) ≈ 147° (zie voorbeeld hierboven)
α ≈ 360° – 147° = 213°

Uiteraard kan ook yP gegeven worden. Je gebruikt dan dus sin–1. Deze geeft altijd resultaten tussen –90° en 90°. Heb je een andere hoek nodig, zal je dus net als in het bovenstaande voorbeeld moeten gaan rekenen.

Voorbeeld 7
Plaatje van eenheidscirkel met een punt P met yp = 0,91. P ligt in het eerste kwadrant.
α = sin–1(0,91°) ≈ 66°

Voorbeeld 8
Plaatje van eenheidscirkel met een punt P met yp = 0,91. P ligt nu in het tweede kwadrant.
sin–1(0,91°) ≈ 66° (zie voorbeeld hierboven)
α ≈ 180° – 66° = 114°


Naar boven