Ongelijkheden » Kwadratische ongelijkheden

Bij een kwadratische ongelijkheid los je, net als bij lineaire ongelijkheden, eerst de bijbehorende vergelijking op, om de snijpunten te bepalen.
Daarna bepaal je de juiste oplossing met behulp van een schets of de getallenlijn.

Het is natuurlijk belangrijk dat je weet wat alle tekens betekenen. Kijk indien nodig bij domein en bereik als je niet meer weet wat <, >, ≤ en ≥ betekenen.

Voorbeeld 1
a2 + 30 < –11a + 2
a2 + 30 = –11a + 2
a2 + 11a + 28 = 0
(a + 4)(a + 7) = 0
a = –4 of a = –7

Verder met schets Verder met getallenlijn
Er zijn twee snijpunten en de parabool is een dalparabool.

Daar hoort deze schets bij:
Dalparabool met snijdende dalende lijn

Kijk naar de originele ongelijkheid:
a2 + 30 < –11a + 2
Parabool < lijn
In de schets zie je dat tussen de twee snijpunten de parabool lager is dan de lijn.

Oplossing is: –7 < a < –4
Reken voor getallen buiten en tussen de
snijpunten uit of de ongelijkheid klopt.

Buiten de twee snijpunten:
Neem bijvoorbeeld a = –8.
(–8)2 + 30 < –11 × –8 + 2
94 < 90
Klopt niet!

Tussen de twee snijpunten:
Neem bijvoorbeeld a = –6.
(–6)2 + 30 < –11 × –6 + 2
66 < 68
Klopt!

Je mag een getallenlijn tekenen,
om je te helpen.
Getallenlijn met boven -8 'Nee', boven -7 '=', boven -6 'Ja' en boven -4 '='.

Omdat 'tussen' klopt is de oplossing:
–7 < a < –4


Voorbeeld 2

–2x2 – 4x – 69 ≤ –28x – 5 
–2x2 – 4x – 69 = –28x – 5 
–2x2 + 24x – 64 = 0 
x2 – 12x + 32 = 0 
(x – 4)(x – 8) = 0
x = 4 of x = 8

Verder met schets Verder met getallenlijn
Er zijn twee snijpunten en de parabool is een bergparabool.

Daar hoort deze schets bij:
Bergparabool met dalende lijn

Kijk naar de originele ongelijkheid:
–2x2 – 4x – 69 ≤ –28x – 5 
parabool ≤ lijn
Buiten de twee snijpunten is de parabool kleiner dan de lijn.

Oplossing is: x ≤ 4 of x ≥ 8
Reken voor getallen buiten en tussen de
snijpunten uit of de ongelijkheid klopt.

Buiten de twee snijpunten:
Neem bijvoorbeeld x = 2.
–2 × 22 – 4 × 2 – 69 ≤ –28 × 2 – 5
–85 ≤ –61
Klopt!

Tussen de twee snijpunten:
Neem bijvoorbeeld x = 5.
–2 × 52 – 4 × 5 – 69  ≤ –28 × 5 – 5
–139 ≤ –145
Klopt niet!

Je mag een getallenlijn tekenen,
om je te helpen.
Getallenlijn met boven 2 'Ja', boven 4 '=', boven 5 'Nee' en boven 8 '='.

Omdat 'buiten' klopt is de oplossing:
x ≤ 4 of x ≥ 8


Let op bij:


Geen snijpunten (zie schets):


Parabool < lijn of parabool ≤ lijn
Oplossing: elke waarde van x

Parabool > lijn of parabool ≥ lijn
Oplossing: voor geen enkele waarde van x



bergparabool met daarboven een lijn

Eén snijpunt/raakpunt (zie schets):


Parabool < lijn
Oplossing: x ≠ 1
(Elke waarde van x behalve x = 1)

Parabool > lijn
Oplossing: voor geen enkele waarde van x

Parabool ≤ lijn
Oplossing: elke waarde van x

Parabool ≥ lijn
Oplossing: x = 1
bergparabool met een lijn die raakt
raakpunt bij x = 1